L'os d'Ishango, l'objet mathématique le plus ancien

La science commence en Afrique à Ishango : du baton au code barre plus de 20.000 ans d’histoire … (+ Vidéo)

La reconnaissance de l’importance du bâton gagne lentement du terrain. Dans toutes les universités et collèges aux Etats-Unis, un poster a été distribué sur les réalisations africaines en mathématiques. Bien que son auteur, le mathématicien African-américain William A. Hawkins, ait une préférence pour l’os sud-africain, le bâton d’Ishango brille en toute grandeur sur son poster. En Angleterre, il existe des clubs de sciences du nom de “Ishango Science Club”. Ils visent la promotion des études mathématiques par les en-fants des familles d’immigrés africains. 

En Belgique, La Poste a émis, en février 2000, un timbre à l’occasion de l’Année Mondiale des Mathématiques. L’UNESCO a appuyé l’organisation d’une multitude de conférences et de séminaires en mathématiques, afin de promouvoir l’importance de cette science dans le développement. Le timbre montre deux formules soulignées par trois et puis six traits, référant au bâton d’Ishango. Si certains confondent ces marques ||| et |||||| avec “un code barre”, alors c’est une confusion “heureuse” : les mathématiques semblent avoir commencé avec des traits, et retrouvent actuellement leur expression initiale dans le code du supermarché.

Un os gravé d’entailles ordonnées suivant une logique mathématique fut trouvé sur la frontière entre le Congo et l’Ouganda. Depuis sa découverte dans les années 1950, cet objet énigmatique fut d’abord interprété comme une première calculette ou bien comme un calendrier astronomique. Cependant, ces interprétations ne cadraient pas dans ce qu’on savait des peuples africains, qui ne connaissait guère les débuts de l’algèbre et s’intéressaient que de très peu à l’astronomie.

Toutefois, si l’objet témoigne d’une activité de comptage avec des bases 10 et/ou 12, il s’insère beaucoup mieux dans la vision actuelle sur la créativité africaine en arithmétique. Il complète alors des découvertes indépendantes en archéologie et en linguistique. Du moins, pour certains…

 

1. La découverte du Prof de Heinzelin à Ishango

Ishango est un petit village au bord du Lac Rutanzige, une des sources les plus lointaines du Nil. Sur la frontière entre le Congo et l’Ouganda, la région est tant à l’actualité de nos jours pour de raisons pas toujours paisibles. La rivière Semliki jaillit de ce lac, connu également sous son nom colonial de Lac Edward, pour se déverser au Lac Albert. Une autre rivière, parfois désignée comme la source la plus méridionale du Nil, l’Akagera, contourne le Rwanda apportant des eaux qui proviennent du Burundi. Elle se verse au Lac Victoria, et continue de cet immense réservoir vers le Lac Kioga. Elle atteint enfin également le Lac Albert. De là, commence une rivière portant effectivement le nom de “Nil”.

Région volcanique, les hommes qui y vivaient déjà il y a 90.000 ans, ont complètement disparu, dû aux éruptions. L’archéologue belge Jean de Heinzelin de Braucourt effectua des fouilles dans les collines environnantes, il y a cinquante ans. Il y découvrit un os d’à peine dix centimètres. Après quelques essais de datations qui portent son âge sur 8500 ans, des études approfondies montraient plus tard que cet objet date d’il y a environ 20.000 ans. Les spécialistes en zoologie de la préhistoire ignorent encore de quel animal cet os pourrait provenir. La thèse qu’il s’agit d’une phalange d’un lion est mentionnée dans certaines sources, mais elle n’est pas confirmée par aucun spécialiste de l’Institut Royal des Sciences Naturelles. L’objet est devenu comme un morceau de verre, et quand on le frappe légèrement, il produit un son semblable.

 

Carte de Heinzelin sur l'influence d'Ishango
Carte de Heinzelin sur l’influence d’Ishango

 

A l’extrémité un fragment de quartz y est fermement encastré, et le long de l’os trois colonnes d’encoches à traits très fins se distinguent. Elles sont rangées en groupes de respectivement 11, 21, 19 et 9 entailles, ensuite de 11, 13, 17 et 19 encoches. La troisième colonne présente huit groupes : 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7.

Le premier groupe suit la règle 10+1, 20+1, 20-1, 10-1, tandis que le dernier contient les duplications 3-6, 4-8 et 5-10. Ce type de suite ne s’applique plus au dernier couple 5-7, ce qui fait déjà douter de la thèse qu’il s’agit d’une suite de duplications.

L'extrémité du bâton, avec son quartz

Cependant, de Heinzelin supposait qu’il agissait d’un jeu d’arithmétique, pouvant renforcer cette hypothèse par d’autres observations arithmétiques. Il a fait appel à plusieurs mathématiciens, dont le plus connu de son temps était L. Hogben. Ils ont par exemple fait remarquer que le premier 3 plus le dernier 7 de la troisième colonne donnent 10. L’addition du 5 et de l’autre 5, ainsi que du 6 et du 4 donne un résultat identique, et ils ont cru que c’était intentionnel. Dans les nombres 11, 13, 17 et 19 ils croyaient voir les nombres premiers entre 10 et 20, bien que la notion de nombre premier soit typi-quement grecque. Les liens de “calcul” entre ces “nombres” témoignent probablement d’une interprétation trop poussée, car ils ne sont pas appuyés par des indices donnés dans des cultures des peuples de la région.

A l’ère de la colonisation, l’archéologue de Heinzelin emmena l’os d’Ishango à Bruxelles. Il y est conservé jusqu’à ce jour, au dix-neuvième étage de l’Institut Royal des Sciences Naturelles de Belgique. Sur son lit de mort, le 4 novembre 1998, de Heinzelin révéla avoir déterré un autre os à Ishango. Il chargea ses assistants de finir sa publication au sujet de ce second bâton à entailles mathématiques, et de la faire publier de façon posthume. En attendant, ils étaient tenus de conserver le secret de ce “vœu testamen-taire”. Toutefois, ce souhait ne fut pas respecté par le journaliste K. Sonck, attaché à la pourtant illustre Université de Gand. On retrouve donc déjà des traces de cette décou-verte dans la presse. Ici, nous respecterons néanmoins le souhait du défunt Prof. de Heinzelin.

2. D’autres interprétations

Alexander Marshack était un journaliste américain chargé par la NASA d’écrire un livre sur l’histoire des sciences. Il avait conclu que les sciences, menant ultérieurement à la conquête de l’espace, avaient bel et bien commencé par l’os d’Ishango. Séduit par l’objet mathématique millénaire, il s’est reconverti en archéologue autodidacte, pour en-suite recevoir de hautes distinctions pour ses recherches. Cependant, par ses prises de position parfois très fermes, ne laissant pas de place au doute qui caractérise tout scienti-fique, certains archéologues exprimaient du scepticisme par rapport à son travail.

L’os d’Ishango était pour Marshack un calendrier lunaire. Il avait étudié des centaines d’os gravés, d’Europe en Afrique du Sud. Au microscope, il aurait remarqué une inclinai-son particulière des entailles. Il voyait un rapport entre l’inclinaison (à gauche ou à droite) ou la profondeur d’une entaille et la phase de la lune (pleine ou nouvelle lune). Les entailles sont effectivement très fines, et on a de la peine à croire qu’elles sont faites à la main. Sans microscope, on constate d’ailleurs que la somme des deux premières colonnes vaut 60 : 11 + 13 + 17 + 19 = 60 = 11 + 21 + 19 + 9, ce qui vaut environ deux mois lunaires. La troisième totalise 3 + 6 + 4 + 8 + 10 + 5 + 5 + 7 = 48 entailles ou un mois lunaire et demi.

 

La revue Kadath a déjà consacré des articles à cette interprétation du bâton d’Ishango comme un calendrier lunaire (c. f. références). Elle souffre néanmoins de plusieurs inconvénients. D’abord, la nécessité de preuves microscopiques est du moins surprenante, et probablement trop poussée. En plus, les peuples africains savaient très bien qu’il y avait plus de douze mois lunaires dans un an. Ils distinguaient souvent un treizième plus petit mois d’environ douze jours.

Une nouvelle interprétation des entailles sur l’os gravé fut présentée à la communauté scientifique lors d’un congrès au Japon, à l’Université de Tsukuba (septembre 1999). Le travail de V. Pletser, chercheur à l’Agence Spatial Européenne, y fut proposé par l’auteur et complétée par des indices (en anglais : “circumstantial evidence”). Contrairement à l’interprétation arithmétique, Pletser était arrivé à justifier la série 5, 7 de la troisième colonne suivi des 11, 13, 17 et 19 de la deuxième colonne. Pour lui, elle illustre l’importance du nombre 6 (ou 12) en Afrique : 5=1×6-1, 7=1×6+1, 11=2×6-1, 13=2×6+1, 17=3×6-1 et 19=3×6+1.

L’ingénieur Pletser se souvenait également des règles à calcul d’avant l’ère des calculatrices électroniques. Une telle règle à calcul classique était constituée de deux ou trois tiges portant des mesures. Les trois lattes glissaient l’une à côté de l’autre. En passant d’une règle à l’autre, on obtenait des liens entre les nombres sur les deux règles, et les ingénieurs et mathématiciens arrivaient ainsi à faire des calculs rapidement. Dans le cas de l’os d’Ishango, les chiffres 3, 6 et 4 se trouvent sur la colonne de milieu, mais la somme, 13, sur l’autre colonne à côté. De façon similaire, l’addition 5+5+7 de ces traits de la colonne à huit groupes s’additionnent pour former 17, qui se trouve sur une autre colonne. En plus, le bâton se laisse facilement manipuler, et le tourner d’une colonne à une autre est une opération évidente. Un tableau résume le déchiffrement de Pletser, la colonne M (milieu) étant 3, 6, 4, 8, 9′, 5, 5, 7, où l’accent à côté du 9 indique qu’un petit trait à côté des 9 traits n’est tenu en compte. Les colonnes G (gauche) et D (droite) sont parfois reconstruites en ajoutant certains traits (comme 2 et 1), qui ne sont pas présents, et donc barrés.

L'os d'Ishango, d'autres interprétations 1

 

Malgré les objections que l’on pourrait exprimer sur ces traits manquant ou l’interprétation d’un groupe comme 9′ au lieu de 10, il ressort du tableau que l’os d’Ishango serait le travail d’un peuple qui utilisait les bases 10 et 12 (ou 6). L’homo sapiens gravant le bâton d’Ishango utilisait peut-être un système de nombres en création. Il est possible qu’il vienne de découvrir les possibilités de ces différentes bases. Souvent, quelqu’un qui est habitué à la base 10 regroupe en comptant ses traits par groupe de cinq en faisant par exemple ||||. Quelqu’un qui est habitué à une autre base, appuiera probablement différemment en dessinant des traits pendant qu’il les compte.

3. Indices indirects

L’interprétation de Pletser correspond mieux aux méthodes de comptage africains. En effet, on retrouve encore jusqu’à aujourd’hui dans certaines régions d’Afrique des peuples qui comptent à bases 12. Au Nigeria, le peuple Yasgua compte par exemple de la façon suivante :

L'os d'Ishango, Indices indirects

 

Il y a également plusieurs restants de la base douze dans les langues européennes. Les deux fois douze heures d’une journée et les soixante minutes d’une heure montrent que les bases dites duodécimale et sexagésimale s’utilisent souvent simultanément. Ceci fait penser à une méthode de compter africaine et asiatique, où le pouce de la main droite compte les 3×4 phalanges de cette main. Le nombre de ces douzaines est totalisé par les cinq doigts de la main gauche : 5×12 = 60.

Plus frappant encore était que les mots des nombres Yasgua proviennent d’une étude effectuée par N. W. Thomas en 1920. Le linguiste avait également étudié le vocabulaire d’autres peuples, et il avait constaté que l’utilisation de la base 12 se faisait uniquement en Afrique de l’Ouest au Nigeria et en Afrique Centrale dans la vallée de la Semliki, où fut découvert le bâton d’Ishango.

En Afrique, la base 10 semble généralement être le plus souvent utilisé, mais créativité africaine se retrouve dans la multitude d’autres façons de compter. Certains peuples préféraient une base 24 ; dans ce système le 10 devient 24, et le 100 = 10×10 est donc 576 = 24×24. Les Yorubas du Nigeria utilisent la base 20, tandis qu’en Afrique du Sud une variation sur la base 2 était employée. D’autres peuples utilisaient la base 6, d’autres encore un mélange de 6 et 4, ou même une base 32. Jusqu’à ce jour, on “découvre” encore de nouvelles façons. Voici par exemple le système Baali, les points d’interrogation indiquant des mots dont l’étymologie n’est pas certaine:

 

L'os d'Ishango, d'autres interprétations 2

 

Grâce à cette avancée dans l’études des diversités des systèmes numériques en Afrique, l’os d’Ishango est devenu moins énigmatique. C’est un simple instrument à compter, comme on en retrouve des milliers en Afrique, sur des bâtons, des cordelettes ou des pierres.

4. Trois éléments pour compléter le puzzle.

Même si Thomas ne connaissait pas l’os d’Ishango – nous écrivons 1920 et le bâton devait encore être découvert – il suggéra qu’il y ait eu un lien entre le Nigeria, la région de la Semliki et l’Egypte. Il se basa sur la similitude dans les mots pour compter, et des similitudes culturelles, comme les façons d’enterrement. Il pensa qu’il y aurait eu une influence venant du Nord, de l’Egypte vers l’Afrique. Nous savons en effet que la base duodécimale était effectivement utilisée au Moyen Orient, et qu’elle fut probablement importée de là en Europe.

En 1962, de Heinzelin publia son interprétation des fouilles d’Ishango dans ‘Scientific American’, indépendamment de Thomas. Il s’appuya sur des preuves archéologiques pour formuler la conclusion suivante : ‘Le premier exemple d’une table mathématique bien ordonnée’ écriva de Heinzelin, ‘date de la période dynastique en Egypte. Il y a certaines indications cependant qui suggèrent l’existence de systèmes moins raffinés à l’ère prédynastique. Puisque le système numérique égyptien était une base et un prérequis pour les réalisations scientifiques de la Grèce classique, et donc pour beaucoup de développements en science qui suivirent, il est même possible que le monde moderne doit une de ses plus grandes dettes aux peuples qui vivaient à Ishango. Si c’est le cas ou non, il reste remarquable que l’indication la plus ancienne de l’utilisation d’un système numérique par l’homme date de l’Afrique Centrale de la période Mésolithique. Aucune fouille en Europe n’a révélé un tel indice’.

L’interprétation mathématique du bâton d’Ishango en tant que règle à calcul à bases 10 et 12, confirme les preuves archéologiques de Jean de Heinzelin et les indications venant de la linguistique de Thomas. Le résultat de Pletser date de 1999, la découverte de J. de Heinzelin de plus de quarante ans plus tôt, et ceux de Thomas d’il y a 80 ans semblent donc correspondre. Le premier, spécialiste du spatial, ignorait les travaux du second, un archéologue, et les études du linguiste Thomas étaient inconnues aux deux premiers. Le bâton d’Ishango semble bien le chaînon manquant dans l’évolution, dont témoigne la base douze, à partir de l’Afrique Centrale vers le nord – l’Egypte – et l’ouest – le Nigeria.

Enfin, on peut s’étonner pourquoi les communautés traditionnelles aurait eu besoin de calculer, et ce qu’elles auraient bien pu compter. On peut encore citer de Heinzelin : “Dans une collectivité aussi active et probablement nombreuse que celle d’Ishango (…), il faut imaginer qu’il y avait des voisins, ou ennemis, de même intelligence mais différents.

Cela faisait bien des rapports à régir. (…) Comment repartir les biens entre les familles, tenant compte des produits de la pêche, du nombre d’enfants, du rang des personnages ; comment faire des fractions (…) ? Comment compenser les apports des chasseurs et des pêcheurs si ceux-ci n’étaient pas les mêmes ? Comment répartir les risques et profits d’une expédition punitive ou d’une razzia, les serfs, prisonniers et victimes manducatoires …

Pour régir tous ces rapports, internes et externes au village ou au groupe mais aussi pour en propager l’enseignement de génération en génération, il fallait donc un instrument tel que le bâton d’Ishango. On est loin de l’idée classique du “sauvage” préhistorique, mais ceci correspond bien à l’idée modifiée que les archéologues se sont formés de ces cultures et peuples.

5. Un débat inconnu en Belgique

De Heinzelin avait beaucoup de successeurs avec son hypothèse sur les origines africaines des mathématiques. Elle était étendue à de plus grandes proportions, comme l’assertion qu’il y avait des liens substantiels entre l’Afrique noire et l’Egypte ancienne. Les noms ‘Isis et Osiris’ ne signifient-ils pas ‘le grand homme et la grande femme noires’ ? En effet, Isis est le nom grecque de la déesse Egyptienne “Set K m.t” tel qu’on lit son nom sur les hiéroglyphes, tandis qu’Osiris correspond au nom grecque du dieu Egyptien Kmwr.


En 1976, Anthony Noguera fut un des premiers à avancer la thèse de l’origine subsaharienne de l’Egypte, dans son livre ‘Combien l’Egypte est-elle africaine ?’. Il lui donna le sous-titre ‘Une étude comparative des cultures de l’ancienne Egypte et de l’Afrique Noire’. Le sinologue Martin Bernal de l’Université de Cambridge et de la Cornell University, défendait l’opinion que l’influence de l’Afrique subsaharienne avait atteint la Grèce dans son recueil ‘Black Athena’ de 1990.

Cependant, le touriste visitant l’Egypte n’entendra guère un guide défendre cette thèse, même devant des peintures ou des statues représentant des personnes visiblement de race noire. Il y a également des tendances qui n’adhèrent pas à la thèse de l’origine africaine de la civilisation égyptienne aux Etats-Unis, et un vif débat sur l’importance des contributions africaines y fait ravage. En 1995, Ivan Van Sertima publia une autre défense des thèses de Bernal dans ‘Black Athena Revisited’. Né en Guyane en Amérique du Sud, il était venu en Angleterre, puis aux USA, pour y devenir professeur en “Etudes Africaines” à la Rutgers University. Un an plus tard, Mary Lefkowitz de la Harvard University, contre-attaqua. La philologie classique, présidente du Département des “Etudes Classiques” écrivait un article intitulé ‘Not Out of Africa, Comment l’afrocentrisme devint une excuse pour enseigner des mythes dans des cours d’histoire’.

Heureusement, ce qui reste hors doute même dans les écrits des plus farouches opposants de la pensée afrocentriste, est l’attribution du titre de preuve la plus ancienne d’une activité mathématique à l’Afrique subsaharienne. Parfois, il est concédé à un autre os gravé, agé de 37000 ans (contre 20000 pour celui d’Ishango). Cependant, cet os ne porte que des entailles, probablement utilisé pour compter, mais sans structure ni logique apparente. Il fut également trouvé en Afrique, dans les montagnes Lebombo, entre l’Afrique du Sud et le Swaziland. L’Afrique subsaharienne ne manquera donc point le titre de lieu où la preuve la plus ancienne d’une activité mathématique fut trouvée.

6. Le bâton d’Ishango : pas d’avocats ?

La reconnaissance de l’importance du bâton gagne lentement du terrain. Dans toutes les universités et collèges aux Etats-Unis, un poster a été distribué sur les réalisations africaines en mathématiques. Bien que son auteur, le mathématicien African-américain William A. Hawkins, ait une préférence pour l’os sud-africain, le bâton d’Ishango brille en toute grandeur sur son poster. En Angleterre, il existe des clubs de sciences du nom de “Ishango Science Club”. Ils visent la promotion des études mathématiques par les enfants des familles d’immigrés africains.

En Belgique, La Poste a émis, en février 2000, un timbre à l’occasion de ‘l’Année Mondiale des Mathématiques’. L’UNESCO a appuyé l’organisation d’une multitude de conférences et de séminaires en mathématiques, afin de promouvoir l’importance de cette science dans le développement. Le timbre montre deux formules soulignées par trois et puis six traits, référant au bâton d’Ishango. Si certains confondent ces marques ||| et |||||| avec “un code barre”, alors c’est une confusion “heureuse” : les mathématiques semblent avoir commencé avec des traits, et retrouvent actuellement leur expression initiale dans le code du supermarché.

Georges Kamanayo, un cinéaste belge né au Rwanda, envisage de faire un documentaire au sujet de l’os d’Ishango. Il se fait conseiller par les préhistoriens Anne Hauzeur et Ivan Jadin de l’Institut Royal des Sciences Naturelles de Belgique et l’archéologue E. Cornelissen du Musée de Tervuren pour ce qui concerne les aspects historiques.

V. Pletser et l’auteur du présent article l’assistent pour les aspects mathématiques de son futur docu-drame en etno-mathématiques. En mettant cet accent sur les sciences, le documentaire de Kamanayo illustrera une nouvelle image de l’Afrique. Le continent est souvent associé à la misère ou la guère, ou, dans des cas plus positifs, au sport, à la musique ou aux beaux paysages. La presse n’est pas habituée à l’association des mathématiques avec ce continent, bien qu’il n’y ait aucune raison objective.

L’Amérique a depuis longtemps remercié les “African-Americans” pour leur contribution à la civilisation américaine, mais l’Europe semble avoir besoin de bien plus de temps pour reconnaître l’apport de “ses” Africains dans le développement des sciences. Et encore, le documentaire est-il loin d’être réalisé, car s’il n’y a pas de débat “Black Athena” en Belgique par manque d’avocats, il y a par contre bien d’opposants…

 

7. Références

Le bâton d’Ishango est conservé à l’Institut Royal des Sciences Naturelles de Belgique, 29 Rue Vautier, 1000 Bruxelles, tel. 00 32 2 6274211. Ce musée est plus connu pour ses squelettes de dinosaures, mais néanmoins, sur une simple demande motivée, tout visiteur peut y admirer l’objet du présent article. La plupart des figures données dans ce présent article sont dues à des sources trouvées à l’IRSNB.

[Arn1] M-M ARNOLD, Jean de Heinzelin, the “father” of the Ishango bone, Athena 153, the magazine of the General Direction for Technologies, Research and Energy of the French Region of Belgium, September 1999.

[Arn2] M-M ARNOLD, Il y a 10.000 ans : l’Homme d’Ishango, Kadath n° 56 Bruxelles 1984.

[Bei] B. BEIRLANT The oldest mathematics is from Congo, De Standaard, 18 August 2000.

[deH1] J. DE HEINZELIN DE BRAUCOURT (1957), Exploration du Parc National

Albert: Les fouilles d’Ishango, Fascicule 2, Institut des Parcs Nationaux du Congo Belge, Brussels.

[deH2] J. DE HEINZELIN DE BRAUCOURT (1962), Ishango, Scientific American, 206-6, June, 105-116.

[Huy2] D. HUYLEBROUCK (1995) Traditional Scientific Knowledge in Burundi and Rwanda, Mathematics in School, The Mathematical Association, Longman Group Ltd., November, 1995.

[Huy1] D. HUYLEBROUCK (1996), The bone that began the Space odyssey, The Mathematical Intelligencer, 18-4, 56-60.

[Huy2] D. HUYLEBROUCK (1996), Etnomathematics in Rwanda and Burundi, Proceedings of GEWINA (Association for the history of mathematics and physics), Museum for Central Africa of Tervuren, 19 October.

[Huy3] D. HUYLEBROUCK (1996) Puzzles, patterns, drums: the dawn of mathematics in Rwanda and Burundi, Humanistic Mathematics Network, Journal #14, November.

[Huy4] D. HUYLEBROUCK (1997), Stories about the Heavens in Rwanda, Ciel et Terre, vol. 113 (2), 83-89.

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[Huy7] D. HUYLEBROUCK (1998), The Ishango Bone: from Africa to Space, EOSmagazine, July-August.

[Huy8] D. HUYLEBROUCK (1999), The Ishango Artifact: the Missing Base 12 Link, Forma, the Proceedings of the 2nd Katachi_Symmetry Symposium (Tsukuba), Ed. T. Ogawa, D. Nagy and R. Takaki, Vol. 14, n. 4, pp 339 – 346.

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[Huy10] D. HUYLEBROUCK (2000), The oldest mathematical artifact, but not in Flanders, Umubano, journal of the Flanders-Rwanda association, autumn 2000.

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[Zas] C. ZASLAVSKY (1973), Africa Counts, Lawrence Hill Books, New York.

Dr. D. Huylebrouck,

Institut d’Architecture Sint-Lucas de Bruxelles.
Paleizenstraat 65-67 1030 Bruxelles (Schaerbeek).
Aartshertogstraat 42, 8400 Oostende, Belgium.
Tél-fax 00 32 59 510953
E-mail: dirk.huylebrouck@pi.be

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“L’Os d’Ishango” Le Plus Vieil Objet Mathématique de l’Humanité

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